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Ch 2：潜在结果框架（Potential Outcomes Framework）

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潜在结果

潜在结果（Potential Outcome）框架由 Rubin 形式化，也叫 Rubin Causal Model。

对于个体 \(i\)，定义：

  • \(T_i \in \{0, 1\}\)：是否接受处理（treatment）
  • \(Y_i(1)\)：若 \(T_i = 1\) 时的潜在结果
  • \(Y_i(0)\)：若 \(T_i = 0\) 时的潜在结果

这两个值对每个个体同时存在（在思维实验中），但实际上只能观测到其中一个：

\[ Y_i^{\text{obs}} = T_i \cdot Y_i(1) + (1 - T_i) \cdot Y_i(0) \]

未被观测到的那个叫做反事实（counterfactual）。

因果推断的根本问题

对于同一个个体 \(i\)，我们不可能同时观测到 \(Y_i(1)\) 和 \(Y_i(0)\)——个体在某一时刻只能处于一种状态。

这被称为 " 因果推断的根本问题（Fundamental Problem of Causal Inference）"。

个体处理效应与平均处理效应

个体处理效应（Individual Treatment Effect, ITE）：

\[ \tau_i = Y_i(1) - Y_i(0) \]

由于反事实不可观测，\(\tau_i\) 无法直接算出。

转而估计平均处理效应（Average Treatment Effect, ATE）：

\[ \tau_{\text{ATE}} = \mathbb{E}[Y(1) - Y(0)] = \mathbb{E}[Y(1)] - \mathbb{E}[Y(0)] \]

以及处理组平均处理效应（ATT）和对照组平均处理效应（ATC）：

\[ \tau_{\text{ATT}} = \mathbb{E}[Y(1) - Y(0) \mid T = 1] \]
\[ \tau_{\text{ATC}} = \mathbb{E}[Y(1) - Y(0) \mid T = 0] \]

各指标的关系（\(\pi = P(T = 1)\)）：

\[ \tau_{\text{ATE}} = \pi \cdot \tau_{\text{ATT}} + (1 - \pi) \cdot \tau_{\text{ATC}} \]

关联差 vs 因果效应

直接比较处理组与对照组的观测结果：

\[ \mathbb{E}[Y \mid T = 1] - \mathbb{E}[Y \mid T = 0] \]

这是关联差（associational difference），通常不等于 ATE，因为两组个体可能本就不同。

分解式：

\[ \underbrace{\mathbb{E}[Y \mid T=1] - \mathbb{E}[Y \mid T=0]}_{\text{关联差}} = \underbrace{\tau_{\text{ATT}}}_{\text{ATT}} + \underbrace{\mathbb{E}[Y(0) \mid T=1] - \mathbb{E}[Y(0) \mid T=0]}_{\text{选择偏差（Selection Bias）}} \]

选择偏差（Selection Bias）是关联差与因果效应之间差距的来源。

何时关联差 = ATE？

若处理是完全随机分配的，则处理组与对照组在接受处理前完全可比：

\[ \mathbb{E}[Y(0) \mid T=1] = \mathbb{E}[Y(0) \mid T=0] \]

选择偏差为零，关联差 = ATT = ATE。这正是随机对照实验（RCT）的核心优势。

一个直观的例子：教育与收入

  • \(T = 1\)：上大学；\(T = 0\)：没上大学
  • \(Y\)：成年后年收入
  • \(X\)：家庭背景、智力水平等

直接比较 " 大学毕业生 vs 非大学毕业生 " 的收入：

\[ \mathbb{E}[Y \mid T=1] - \mathbb{E}[Y \mid T=0] \]

这不等于教育的因果效应，因为愿意上大学的人本来就可能有更高的家庭资源和能力（选择偏差）。

因果推断的目标：估计 " 如果同一个人上了大学 vs 没上大学 "——真正的反事实对比 \(Y_i(1) - Y_i(0)\)。

Terms

术语小结

  • Potential Outcome（潜在结果）：在不同处理取值下，某个体会出现的结果 \(Y_i(t)\)
  • Counterfactual（反事实）：没有被观测到的那个潜在结果
  • ITE（Individual Treatment Effect）：个体处理效应 \(\tau_i = Y_i(1) - Y_i(0)\)
  • ATE（Average Treatment Effect）：全体个体的平均处理效应 \(\mathbb{E}[Y(1) - Y(0)]\)
  • ATT（Average Treatment Effect on the Treated）：处理组个体的平均处理效应
  • ATC（Average Treatment Effect on the Control）：对照组个体的平均处理效应
  • Selection Bias（选择偏差）：处理组与对照组本就存在的系统性差异，导致关联差 \(\neq\) ATE
  • Rubin Causal Model：以潜在结果为基础的因果推断框架