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Ch 6：工具变量（Instrumental Variables, IV）

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当可忽略性假设不满足（存在未观测混淆变量 \(U\) 同时影响处理 \(T\) 和结果 \(Y\)）时，直接用观测数据估计因果效应会有偏。

工具变量（IV）方法提供了一种在这种情况下仍能识别因果效应的策略。

什么是工具变量？

工具变量（Instrument） \(Z\) 需满足三个条件：

1. 相关性（Relevance）

\(Z\) 与处理 \(T\) 相关：

\[ \text{Cov}(Z, T) \neq 0 \quad \Leftrightarrow \quad Z \not\perp T \]

检验：可以用 \(F\) 统计量（第一阶段回归的 \(F > 10\) 通常认为是强工具变量）。

2. 外生性（Exogeneity / Independence）

\(Z\) 与未观测混淆无关：

\[ Z \perp U \quad \Leftrightarrow \quad Z \perp (Y(0), Y(1)) \]

\(Z\) 不能通过混淆因素影响结果。这个假设不可检验，需要依赖领域知识和设计。

3. 排除限制（Exclusion Restriction）

\(Z\) 只通过 \(T\) 影响 \(Y\)，没有直接路径：

\[ Z \to T \to Y \quad \text{（唯一路径）} \]

在因果图中表示为：

Z ──→ T ──→ Y
              ↑
         U ───┘   (未观测混淆)

排除限制也不可检验

排除限制是研究设计的核心假设，无法从数据中验证。需要论证工具变量除了通过处理变量之外，没有其他影响结果的渠道。

Wald 估计量

对于二元工具变量 \(Z \in \{0, 1\}\) 和二元处理 \(T \in \{0, 1\}\)，IV 估计量（Wald 估计量）为：

\[ \hat{\tau}_{\text{WALD}} = \frac{\mathbb{E}[Y \mid Z=1] - \mathbb{E}[Y \mid Z=0]}{\mathbb{E}[T \mid Z=1] - \mathbb{E}[T \mid Z=0]} = \frac{\text{$Z$ 对 $Y$ 的简约式效应}}{\text{$Z$ 对 $T$ 的第一阶段效应}} \]

分母是 "第一阶段（First Stage）"，衡量工具变量对处理的影响力。

两阶段最小二乘（2SLS）

在连续变量和多个协变量的情形下，IV 估计通常用两阶段最小二乘（Two-Stage Least Squares, 2SLS）实现：

  • 第一阶段：用 \(Z\)（和协变量）预测处理 \(T\)，得到 \(\hat{T}\)
  • 第二阶段：用 \(\hat{T}\) 代替 \(T\) 对 \(Y\) 做回归
from sklearn.linear_model import LinearRegression

# 第一阶段：T ~ Z
stage1 = LinearRegression().fit(Z.reshape(-1, 1), T)
T_hat = stage1.predict(Z.reshape(-1, 1))

# 第二阶段：Y ~ T_hat
stage2 = LinearRegression().fit(T_hat.reshape(-1, 1), Y)
tau_iv = stage2.coef_[0]

局部平均处理效应（LATE）

Wald 估计量估计的并不是整体 ATE，而是局部平均处理效应（Local Average Treatment Effect, LATE）。

LATE 仅对顺从者（Compliers）成立——即那些 "\(Z\) 改变时，\(T\) 也会跟着改变 " 的个体。

四类个体（潜在顺从性）

类型 \(T(Z=0)\) \(T(Z=1)\) 说明
Complier（顺从者） 0 1 \(Z\) 为 1 时接受处理，\(Z\) 为 0 时不接受
Never-taker（永不接受者） 0 0 无论 \(Z\) 如何都不接受处理
Always-taker（总是接受者） 1 1 无论 \(Z\) 如何都接受处理
Defier（违抗者） 1 0 反向响应（单调性假设排除此类）

在额外的单调性假设（Monotonicity）下（不存在 Defiers），IV 估计 LATE：

\[ \tau_{\text{LATE}} = \mathbb{E}[Y(1) - Y(0) \mid \text{Complier}] \]

LATE 的政策意义

LATE 描述的是 " 那些会被政策鼓励措施影响的人 " 的处理效应，这在政策评估中往往是最相关的群体。

工具变量的例子

工具变量 \(Z\) 处理 \(T\) 结果 \(Y\) 说明
越战征兵彩票（出生日期） 是否服兵役 成年后收入 出生日期随机，满足外生性
距离最近大学的远近 是否上大学 成年后收入 距离影响上学概率但不直接影响收入
随机发放优惠券 是否参加项目 项目产出 随机鼓励设计（Encouragement Design）
季度出生（教育法规） 受教育年数 收入 生日在年底的人上学时已超义务教育年龄

弱工具变量问题

若第一阶段效应很弱（\(\text{Cov}(Z, T)\) 接近 0），即使排除限制成立，IV 估计量也会：

  • 方差极大（不稳定）
  • 渐近偏差严重（有限样本下）

实践检验：第一阶段 \(F\) 统计量 \(< 10\) 通常被视为弱工具变量，需要谨慎。

Terms

术语小结

  • Instrumental Variable（工具变量）：满足相关性、外生性、排除限制三个条件的辅助变量
  • Relevance（相关性）：工具变量与处理变量相关
  • Exogeneity（外生性）：工具变量与未观测混淆无关
  • Exclusion Restriction（排除限制）：工具变量只通过处理影响结果
  • Wald Estimator（Wald 估计量）：二元 IV 的基本估计量，简约式效应 / 第一阶段效应
  • 2SLS（Two-Stage Least Squares）：两阶段最小二乘，连续 IV 的标准估计方法
  • LATE（Local Average Treatment Effect）：IV 估计的因果效应，仅对顺从者成立
  • Complier（顺从者）：工具变量改变时处理也随之改变的个体
  • Monotonicity（单调性）：假设不存在违抗者，是识别 LATE 的额外假设
  • First Stage（第一阶段）：\(Z\) 对 \(T\) 的影响，衡量工具变量的强度
  • Weak Instrument（弱工具变量）：第一阶段效应过小，导致 IV 估计不稳定