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Ch 4：因果图（Causal Graphs / DAGs）

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有向无环图

用有向无环图（Directed Acyclic Graph, DAG）表示变量间的因果结构：

  • 节点（node）：随机变量（可观测或不可观测）
  • 有向边（directed edge）：\(A \to B\) 表示 \(A\) 是 \(B\) 的直接原因之一
  • 无环（acyclic）：图中不存在有向环路，即不允许 \(A\) → \(B\) → \(A\) 这样的循环

DAG 隐含了局部马尔可夫假设（Local Markov Assumption）：每个节点在其父节点（parents）给定时，条件独立于所有非子孙节点。

由此可以写出联合分布的因式分解：

\[ P(X_1, X_2, \ldots, X_n) = \prod_{i=1}^n P(X_i \mid \text{Pa}(X_i)) \]

基本路径结构

DAG 中有三种基本路径模式，决定了信息是否可以在两个节点间 " 流动 "：

结构 图示 特点
链（Chain） \(X \to Z \to Y\) \(Z\) 中介（传递）\(X\) 对 \(Y\) 的影响
叉（Fork） \(X \leftarrow Z \rightarrow Y\) \(Z\) 是共同原因（混淆因素）
对撞（Collider） \(X \to Z \leftarrow Y\) \(Z\) 是共同结果

链（Chain）

\[ X \to Z \to Y \]

\(X\) 通过 \(Z\) 间接影响 \(Y\)。若条件在 \(Z\) 上，\(X\) 与 \(Y\) 条件独立（路径被阻断）。

叉（Fork）

\[ X \leftarrow Z \rightarrow Y \]

\(Z\) 是共同原因（混淆因素，Confounder），导致 \(X\) 和 \(Y\) 相关，但并非因果关系。若条件在 \(Z\) 上，\(X\) 与 \(Y\) 条件独立（路径被阻断）。

对撞（Collider）

\[ X \to Z \leftarrow Y \]

\(X\) 和 \(Y\) 的共同结果 \(Z\)。在不控制 \(Z\) 时，\(X\) 与 \(Y\) 边际独立；一旦条件在 \(Z\) 上，\(X\) 与 \(Y\) 之间会产生虚假关联（路径被打开）。

对撞偏差（Collider Bias）

在对撞结构 \(X \to Z \leftarrow Y\) 中，如果我们在回归中控制了 \(Z\)，反而会引入 \(X\) 和 \(Y\) 之间的虚假关联，得出错误的因果结论。

例子：研究才华（\(X\)）和美貌（\(Y\)）与成名（\(Z\)）的关系。成名艺人中才华与美貌可能负相关，但这并不意味着才华和美貌本身负相关——这是对撞偏差。

d- 分离（d-separation）

d- 分离给出判断两个节点集合在给定第三集合时是否条件独立的图形准则。

路径阻断规则（给定集合 \(\mathbf{Z}\)）：

一条路径 \(p\) 在给定 \(\mathbf{Z}\) 后被阻断，当且仅当：

  1. 路径中存在链 / 叉结构，且中间节点在 \(\mathbf{Z}\) 中；或
  2. 路径中存在对撞结构，且对撞节点及其所有后裔都不在 \(\mathbf{Z}\) 中

若集合 \(X\) 和 \(Y\) 之间所有路径都被阻断，则称 \(X\) 与 \(Y\) 在给定 \(\mathbf{Z}\) 下 d- 分离，记作：

\[ X \perp\!\!\!\perp Y \mid \mathbf{Z} \quad \text{（在图中）} \]

由此推断统计独立性（马尔可夫相容性）。

后门准则（Backdoor Criterion）

想要估计 \(T\) 对 \(Y\) 的因果效应，需要阻断所有 "后门路径"——即从 \(T\) 出发、但沿着某条指向 \(T\) 的边进入 \(T\) 的路径。

集合 \(\mathbf{X}\) 满足后门准则的条件：

  1. \(\mathbf{X}\) 中没有 \(T\) 的后裔（不能控制中间变量或 \(T\) 的结果）
  2. \(\mathbf{X}\) 阻断 \(T\) 与 \(Y\) 之间的所有后门路径

若 \(\mathbf{X}\) 满足后门准则，则：

\[ P(Y \mid do(T = t)) = \sum_x P(Y \mid T = t, X = x) \cdot P(X = x) \]

这也叫后门调整公式（Backdoor Adjustment Formula）。

选择要控制的变量

  • 要控制：混淆因素（Confounders），即叉结构的共同原因
  • 不要控制：对撞因素（Colliders）、中间变量（Mediators）、处理的后裔

应当根据 DAG 决定控制哪些变量，而不是在回归中 " 尽量多地控制变量 "。

前门准则（Front-door Criterion）

当存在不可观测混淆（隐变量 \(U\)），但 \(T\) 对 \(Y\) 的影响全部通过可观测中间变量 \(M\) 传递时，可以用前门准则识别因果效应：

\[ P(Y \mid do(T)) = \sum_m P(M = m \mid T) \sum_{t'} P(Y \mid T = t', M = m) P(T = t') \]

条件：\(T \to M\)（\(T\) 阻断不到其他 \(M\) 的路径）、\(M \to Y\)（所有 \(M\) 到 \(Y\) 的后门路径被 \(T\) 阻断）。

do 算子与干预分布

Pearl 引入 do 算子来区分观测与干预：

  • \(P(Y \mid T = t)\)：在自然观测下，\(T = t\) 的个体中 \(Y\) 的分布
  • \(P(Y \mid do(T = t))\)：若强制将 \(T\) 设为 \(t\)（外部干预），\(Y\) 的分布

在图中，\(do(T = t)\) 等价于从 DAG 中删除所有指向 \(T\) 的边，再令 \(T = t\)：

\[ \text{截断因式分解（Truncated Factorization）}: \quad P(V \mid do(T = t)) = \prod_{i: V_i \neq T} P(V_i \mid \text{Pa}(V_i)) \cdot \mathbf{1}[T = t] \]

do 算子 vs 条件概率

在叉结构 \(T \leftarrow U \rightarrow Y\) 中：

  • \(P(Y \mid T = 1)\) 包含 \(U\) 引起的混淆，\(\neq\) 因果效应
  • \(P(Y \mid do(T = 1))\) 删除 \(U \to T\) 的边，消除混淆，= 真正的因果效应

Terms

术语小结

  • DAG（Directed Acyclic Graph）：有向无环图，表示变量间的直接因果关系
  • Parent（父节点）：直接指向当前节点的节点
  • Chain（链）：\(X \to Z \to Y\)，中间变量传递因果信息
  • Fork（叉）：\(X \leftarrow Z \rightarrow Y\)，共同原因引起虚假相关
  • Collider（对撞）：\(X \to Z \leftarrow Y\)，条件控制后引入虚假关联
  • Confounder（混淆因素）：同时影响处理和结果的变量
  • Mediator（中间变量）：位于处理到结果因果路径上的变量
  • d-separation：判断在给定集合下两节点集合是否条件独立的图形准则
  • Backdoor Criterion（后门准则）：选择控制变量集合以阻断所有后门路径的图形准则
  • do-operator：表示外部干预的算子，\(P(Y \mid do(X = x))\)
  • Collider Bias（对撞偏差）：不当控制对撞变量导致的虚假因果关联