Ch 7：断点回归（Regression Discontinuity, RD）

基本思想

断点回归（Regression Discontinuity Design, RDD）利用处理分配规则中的阈值来识别因果效应。

当处理 \(T\) 完全由某个连续 " 跑步变量 "（Running Variable / Forcing Variable） \(X\) 是否超过阈值 \(c\) 决定时：

由于接近阈值的个体在各方面（除 \(X\) 本身外）高度相似，阈值两侧的结果差异可以归因于处理本身：

关键假设

连续性假设（Continuity Assumption）

在阈值 \(c\) 附近，潜在结果的期望关于 \(X\) 是连续的：

直觉：若不是因为处理分配，阈值左右的个体结果在断点处本应平滑过渡（无跳跃）。

无精确操控（No Precise Manipulation）

个体无法精确决定自己的 \(X\) 值落在阈值哪一侧：

其中 \(f_X\) 是 \(X\) 的概率密度函数。

两种类型的 RDD

尖锐断点（Sharp RDD）

处理分配完全由阈值决定：

直接估计阈值两侧结果均值之差即可。

模糊断点（Fuzzy RDD）

处理概率在阈值处发生跳跃，但不是从 0 跳到 1：

此时阈值作为工具变量使用，估计量为：

与 IV 的 Wald 估计量形式相同，估计 LATE。

估计方法

局部多项式回归（Local Polynomial Regression）

在阈值 \(c\) 两侧各拟合一个低阶多项式，用两个多项式在 \(c\) 处的预测值之差估计断点效应：

import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression

def rdd_estimate(Y, X, c, bandwidth=None, poly_order=1):
    if bandwidth is None:
        bandwidth = (X.max() - X.min()) / 4

    mask = np.abs(X - c) <= bandwidth
    X_local, Y_local = X[mask], Y[mask]

    # 以阈值为中心：x_centered = X - c
    x_c = X_local - c
    is_right = (x_c >= 0).astype(float)

    # 构造特征：多项式 × 阈值两侧
    features = np.column_stack([
        is_right,                        # 处理指示
        x_c,                             # 线性项（左侧）
        is_right * x_c,                  # 线性项（右侧，交互）
    ])

    model = LinearRegression().fit(features, Y_local)
    return model.coef_[0]   # is_right 系数 = 断点处跳跃

tau_rd = rdd_estimate(Y, X, c=0.5)
print(f"RDD estimate: {tau_rd:.4f}")

带宽选择（Bandwidth Selection）

• 带宽过窄：样本量小，方差大
• 带宽过宽：引入阈值远端的偏差

MSE 最优带宽（IK 带宽、CCT 带宽）在偏差和方差之间取得最佳平衡，是实践中的推荐做法。

有效性检验

RDD 分析通常需要报告以下检验，以增强结论的可信度：

RDD 的例子

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