Ch 9：结构因果模型（Structural Causal Model, SCM）

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什么是 SCM？

结构因果模型（Structural Causal Model, SCM）是 Judea Pearl 提出的形式化因果推断框架，是一个三元组 \((U, V, F)\)：

\(V\)：内生变量（endogenous variables），即可观测的随机变量
\(U\)：外生变量（exogenous variables），即背景 / 噪声变量，可以不可观测
\(F\)：结构方程集合（structural equations），每个 \(V_i\) 对应一个方程：

\[ V_i = f_i(\text{Pa}(V_i), U_i) \]

其中 \(\text{Pa}(V_i)\) 是 \(V_i\) 在 DAG 中的父节点集合

每个结构方程描述了 "\(V_i\) 的取值由哪些因素决定 "，是因果机制（causal mechanism）的形式化表达。

结构方程 vs 回归方程

回归方程是对条件期望的统计描述，可以任意改写（例如把 \(Y = aX + b\) 改成 \(X = (Y-b)/a\)）。

结构方程描述的是单向因果机制：\(Y = aX + U_Y\) 意味着 \(X\) 决定 \(Y\)，而不能反过来写 \(X\) 导致 \(Y\)。方向有因果含义，不能随意颠倒。

从 SCM 可以自然地导出对应的 DAG：每个结构方程 \(V_i = f_i(\text{Pa}(V_i), U_i)\) 对应图中 \(\text{Pa}(V_i) \to V_i\) 的有向边。

DAG 是 SCM 的图形摘要，SCM 在 DAG 基础上增加了函数形式和噪声分布的完整规定。

Pearl 提出了因果层级（Ladder of Causation），将因果推断问题分为三个层次：

关键性质：更高层次的问题无法仅用更低层次的信息回答。

干预（Intervention）\(do(X = x)\)：强制将 \(X\) 设为某值，不管 \(X\) 的自然取值机制。

在 SCM 中，\(do(X = x)\) 等价于：

在图中表示为：删除所有指向 \(X\) 的边，再令 \(X = x\)。

\[ P(V \mid do(X = x)) = \prod_{i: V_i \neq X} P(V_i \mid \text{Pa}(V_i)) \cdot \mathbf{1}[X = x] \]

这叫截断因式分解（Truncated Factorization）。

反事实（Counterfactual）询问的是：在已知个体的实际背景 \(U = u\) 下，若其某个变量值不同，结果会如何？

在 SCM 中，计算反事实 \(Y_x(u)\) 分三步（abduction-action-prediction）：

利用观测数据 \((X = x, Y = y, \ldots)\) 推断背景噪声 \(U\) 的后验分布：

\[ P(U \mid \text{evidence}) \]

修改 SCM，令 \(do(X' = x')\)（假设的反事实干预）。

用修改后的 SCM 和推断出的 \(U\) 计算 \(Y\) 的反事实值：

\[ Y_{x'}(u) = f_Y(\text{Pa}(Y) \text{ under } do(X' = x'), u) \]

反事实的例子

考虑一个简单的线性 SCM：

\[ X = U_X, \quad Y = \alpha X + U_Y, \quad U_X \sim N(0,1), \quad U_Y \sim N(0,1) \]

观测分布：\(P(Y \mid X = x) = N(\alpha x, 1)\)
干预分布：\(P(Y \mid do(X = x)) = N(\alpha x, 1)\)（此处两者恰好相同，因为没有混淆）
反事实：若已知 \(X = 1, Y = 2\)，可推断 \(U_Y = 2 - \alpha\)，进而计算 \(Y_{x=0} = U_Y = 2 - \alpha\)

引入混淆因素 \(Z \to X, Z \to Y\) 后，观测分布和干预分布不再相同，需要用后门准则调整。

术语小结